Автореферат

Введение

В последнее время широко используются методы обработки данных основанные на вейвлет-преобразованиях. Вейвлеты - это математические функции, позволяющие анализировать различные частотные компоненты данных. Вейвлеты обладают существенными преимуществами по сравнению с преобразованием Фурье, потому что вейвлет-перобразование позволяет судить не только о частотном спектре сигнала, но также о том, в какой момент времени появилась та или иная гармоника. С их помощью можно легко анализировать прерывистые сигналы, либо сигналы с острыми всплесками. Кроме того вейвлеты позволяют анализировать данные согласно масштабу, на одном из заданных уровней (мелком или крупном). Уникальные свойства вейвлетов позволяют сконструировать базис, в котором представление данных будет выражаться всего несколькими ненулевыми коэффициентами. Это свойство делает вейвлеты очень привлекательными для упаковки данных, в том числе видео- и аудио-информации. Мелкие коэффициенты разложения могут быть отброшены в соответствии с выбранным алгоритмом без значительного влияния на качество упакованных данных. Вейвлеты нашли широкое применение в цифровой обработке изображения, обработке сигналов и анализе данных.

Цель работы

Основной целью магистерской работы является поиск области применения вейвлет в телекомуникационных системах. Планируется исследовать преимущества и недостатки данного вида анализа сигналов в широкополосных системах связи, при различных значениях зашумленности канала связи.

Актуальность

На сегодняшний момент в телекоммуникационных системах одной из важнейших проблем, является борьба с шумами. Особенно остро данная проблема сущестует в телефонных сетях, линии связи которых еще ложились в давние времена. Как раз в таких линиях и возникает большое количество шумов по различным причинам, и как раз для того чтобы не менять данные линии, которые лежат тысячами километров по всей стране, и необходим достаточно эффективный метод фильтрации. Представленный метод, является относительно новым, и границы применения данного метода до сих пор не определены. В нынешнее время существует множество теоретических размышлений, однако с каждым годом вейвлет-преобразование находит все больше и больше областей для применения.

Цели анализа сигналов

Под "анализом" сигналов (analysis) имеется в виду не только их чисто математические преобразования, но и получение на основе этих преобразований выводов о специфических особенностях соответствующих процессов и объектов.
Целями анализа сигналов обычно являются:
- Определение или оценка числовых параметров сигналов (энергия, средняя мощность, среднее квадратическое значение и пр.).
- Разложение сигналов на элементарные составляющие для сравнения свойств различных сигналов.
- Сравнение степени близости, "похожести", "родственности" различных сигналов, в том числе с определенными количественными оценками.

Математический аппарат анализа сигналов весьма обширен, и широко применяется на практике во всех без исключения областях науки и техники.

С понятием сигнала неразрывно связан термин регистрации сигналов, использование которого также широко и неоднозначно, как и самого термина сигнал. В наиболее общем смысле под этим термином можно понимать операцию выделения сигнала и его преобразования в форму, удобную для дальнейшего использования, обработки и восприятия. Так, при получении информации о физических свойствах каких-либо объектов, под регистрацией сигнала понимают процесс измерения физических свойств объекта и перенос результатов измерения на материальный носитель сигнала или непосредственное энергетическое преобразование каких-либо свойств объекта в информационные параметры материального носителя сигнала (как правило - электрического). Но так же широко термин регистрации сигналов используют и для процессов выделения уже сформированных сигналов, несущих определенную информацию, из суммы других сигналов (радиосвязь, телеметрия и пр.), и для процессов фиксирования сигналов на носителях долговременной памяти, и для многих других процессов, связанных с обработкой сигналов.

Методы обработки нестационарных сигналов

Большинство сигналов имеет сложные частотно-временные характеристики. Как правило, такие сигналы состоят из близких по времени, короткоживущих высокочастотных компонент и долговременных, близких по частоте низкочастотных компонент.

Для анализа таких сигналов нужен метод, способный обеспечить хорошее разрешение и по частоте, и по времени. Первое требуется для локализации низкочастотных составляющих, второе – для разрешения компонент высокой частоты.

Вейвлет преобразование стремительно завоевывает популярность в столь разных областях, как телекоммуникации, компьютерная графика, биология, астрофизика и медицина. Благодаря хорошей приспособленности к анализу нестационарных сигналов оно стало мощной альтернативой преобразованию Фурье в ряде приложений. Так как многие сигналы нестационарные, методы вейвлет анализа используются для распознавания и обнаружения ключевых диагностических признаков.

Преобразование Фурье представляет сигнал, заданный во временной области, в виде разложения по ортогональным базисным функциям (синусам и косинусам), выделяя таким образом частотные компоненты. Недостаток преобразования Фурье заключается в том, что частотные компоненты не могут быть локализованы во времени, что накладывает ограничения на применимость данного метода к ряду задач (например, в случае изучения динамики изменения частотных параметров сигнала на временном интервале).

Существует два подхода к анализу нестационарных сигналов такого типа.

Первый – локальное преобразование Фурье (short-time Fourier transform). Следуя по этому пути, мы работаем с нестационарным сигналом, как со стационарным, предварительно разбив его на сегменты (окна), статистика которых не меняется со временем.

Второй подход – вейвлет преобразование. В этом случае нестационарный сигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов. Функция прототип называется материнским, или анализирующим вейвлетом.

Краткий обзор преобразования Фурье

Классическим методом частотного анализа сигналов является преобразование Фурье, суть которого можно выразить формулой

Результат преобразования Фурье – амплитудно-частотный спектр, по которому можно определить присутствие некоторой частоты в исследуемом сигнале.

В случае, когда не встает вопрос о локализации временного положения частот, метод Фурье дает хорошие результаты. Но при необходимости определить временной интервал присутствия частоты приходится применять другие методы.

Одним из таких методов является обобщенный метод Фурье (локальное преобразование Фурье). Этот метод состоит из следующих этапов:
1. в исследуемой функции создается “окно” – временной интервал, для которого функция f(x) не равна 0, и f(x)=0 для остальных значений;
2. для этого “окна” вычисляется преобразование Фурье;
3. “ окно” сдвигается, и для него также вычисляется преобразование Фурье.

“Пройдя” таким “окном” вдоль всего сигнала, получается некоторая трехмерная функция, зависящая от положения “окна” и частоты.

Данный подход позволяет определить факт присутствия в сигнале любой частоты, и интервал ее присутствия. Это значительно расширяет возможности метода по сравнению с классическим преобразованием Фурье, но существуют и определенные недостатки. Согласно следствиям принципа неопределенности Гейзенберга в данном случае нельзя утверждать факт наличия частоты w0 в сигнале в момент времени t0 - можно лишь определить, что спектр частот (w1,w2) присутствует в интервале (t1,t2). Причем разрешение по частоте (по времени) остается постоянным вне зависимости от области частот (времен), в которых производится исследование. Поэтому, если, например, в сигнале существенна только высокочастотная составляющая, то увеличить разрешение можно только изменив параметры метода. В качестве метода, не обладающего подобного рода недостатками, был предложен аппарат вейвлет анализа.

Основные положения вейвлет-анализа

Различают дискретный и непрерывный вейвлет анализ, аппарат которых можно применять как для непрерывных, так и для дискретных сигналов.

Cигнал анализируется путем разложения по базисным функциям, полученным из некоторого прототипа путем сжатий, растяжений и сдвигов. Функция-прототип называется анализирующим (материнским) вейвлетом.

Вейвлет - функция должна удовлетворять 2-м условиям:
1. Среднее значение (интеграл по всей прямой) равен 0.
2. Функция быстро убывает при времени стремящемся к бесконечности.

В общем случае вейвлет преобразование функции f(t) выглядит так:

где t – ось времени, x – момент времени, s – параметр, обратный частоте, a (*) – означает комплексно-сопряженное.

Главным элементом в вейвлет анализе является функция-вейвлет. Вообще говоря, вейвлетом является любая функция, отвечающая двум вышеуказанным условиям. Наибольшей популярностью пользуются следующие вейвлеты:

Итак, у нас имеется некоторая функция f(t), зависящая от времени. Результатом ее вейвлет-анализа будет некоторая функция W(x,s), которая зависит уже от двух переменных: от времени и от частоты (обратно пропорционально). Для каждой пары x и s рецепт вычисления вейвлет преобразования следующий:
1. Функция вейвлет растягивается в s раз по горизонтали и в 1/s раз по вертикали.
2. Далее он сдвигается в точку x. Полученный вейвлет обозначается пси(x,s).
3. Производится усреднение в окрестности точки s при помощи пси(x,s).

В результате “вырисовывается” вполне наглядная картина, иллюстрирующая частотно-временные характеристики сигнала. По оси абсцисс откладывается время, по оси ординат – частота (иногда размерность оси ординат выбирается так: log(1/s), где s-частота), а абсолютное значение вейвлет преобразования для конкретной пары x и s определяет цвет, которым данный результат будет отображен (чем в большей степени та или иная частота присутствует в сигнале в конкретный момент времени, тем темнее будет оттенок).

В случае вейвлет анализа (декомпозиции) процесса (сигнала) благодаря изменению масштаба вейвлеты способны выявить различие в характеристиках процесса на различных шкалах, а посредством сдвига можно проанализировать свойства процесса в различных точках на всем исследуемом интервале.

Изучив эти свойства, некоторые компоненты можно удалить, что широко используется при удалении шумов.

Как правило, для удаления шума используется хорошо известный из техники фильтрации прием – удаление высокочастотных составляющих из спектра сигнала. Однако применительно к вейвлетам есть еще один путь – ограничение уровня детализирующих коэффициентов.

Кратковременные особенности сигнала, а к ним можно отнести и шумы в виде множества таких особенностей – создают детализирующие коэффициенты с высоким содержанием шумовых компонент, имеющие большие случайные выбросы значений сигнала. Задав некоторый порог для их уровня, и срезав по уровню детализирующие коэффициенты, можно уменьшить уровень шумов. Но самое главное, что уровень ограничения можно устанавливать для каждого коэффициента отдельно, что позволяет строить адаптивные к изменениям системы очистки сигналов от шума на основе вейвлетов.

Основное отличие вейвлет-фильтрации от традиционных методов выделения полезных сигналов из помех и шумов заключается в том, что выбор параметров вейвлетного фильтра довольно слабо зависит от характеристик спектра анализируемого сигнала. Это позволяет избежать тех трудностей, которые обычно сопровождают выбор параметров частотно-передаточной функции традиционного фильтра, когда слишком узкое частотное окно приводит к искажению формы полезного сигнала и ухудшению разрешающей способности системы, а слишком широкое окно — к неэффективности процесса фильтрации из-за большого уровня шумов в выходном сигнале.

Полученные результаты

На сегодняшний момент программным методом реализован процесс вейвлет преобразования. Стало возможным получение спектров различных сигналов, а также очистка сигналов от некоторых видов шумов. В дальнейшем планируется на примере модели ADSL канала связи, в различных местах применить данный метод фильтрации и сравнить его с уже существующим.

Заключение

На сегодняшний момент вейвлет преобразование завоевывает все большую популярность, что дает широкое поле деятельности в практической реализации вейвлет преобразования, в магистерской работе планируется применить вейвлет преобразование для фильтрации сигналов в широкополосных системах связи. В качестве такой технологии будет браться ADSL. В которой реализовано одновременная передача голоса и данных по обычным телефонным линиям, в которых существует множество различных шумов. В результате исследования будет создана модель канала связи и будет определено целесообразно ли использовать данный метод в этой технологии.

Литература: